已知{an}是正数组成的数列.a1=1.且点()(nN*)在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式, (Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+.求证:bn ·bn+——青夏教育精英家教网—

已知{an}是正数组成的数列.a1=1.且点()(nN*)在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式, (Ⅱ)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+.求证:bn ·bn+2＜b2n+1. 本小题考查等差数列.等比数列等基本知识.考查转化与化归思想.推理与运算能力. 解法一: (Ⅰ)由已知得an+1=an+1.即an+1-an=1.又a1=1, 所以数列{an}是以1为首项.公差为1的等差数列. 故an=1+(a-1)×1=n. 知:an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+(b2-b1)+b1 =2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1. 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n =-2n＜0,所以bn·bn+2＜b, 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为b2=1,bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n(bn+1-2n+1)=2n(bn+2n-2n+1)=2n(bn-2n)=-=2n(b1-2)=-2n〈0.所以bn-bn+2<b2n+1 1.已知数列是一个等差数列.且.. (1)求的通项,(2)求前n项和的最大值. 解:(Ⅰ)设的公差为.由已知条件..解出.．所以． (Ⅱ)．所以时.取到最大值． 1.设数列满足为实数 (Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是, (Ⅱ)设.证明:; (Ⅲ)设.证明: 解 (1) 必要性 : . 又 .即充分性 :设.对用数学归纳法证明当时..假设则.且 .由数学归纳法知对所有成立 (2) 设 .当时..结论成立当时. ,由(1)知.所以且 (3) 设 .当时..结论成立当时.由(2)知 2.设数列满足其中为实数.且 (Ⅰ)求数列的通项公式 (Ⅱ)设.,求数列的前项和, (Ⅲ)若对任意成立.证明解 (1) 方法一: 当时.是首项为.公比为的等比数列. .即 .当时.仍满足上式. 数列的通项公式为 . 方法二由题设得:当时. 时.也满足上式. 数列的通项公式为 . 得知若.则由对任意成立.知.下面证.用反证法方法一:假设.由函数的函数图象知.当趋于无穷大时.趋于无穷大不能对恒成立.导致矛盾.. 方法二:假设.. 即恒成立 (＊) 为常数. (＊)式对不能恒成立.导致矛盾. 3.对于每项均是正整数的数列.定义变换.将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列.定义变换.将数列各项从大到小排列.然后去掉所有为零的项.得到数列,又定义．设是每项均为正整数的有穷数列.令． (Ⅰ)如果数列为5.3.2.写出数列, (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列.证明, (Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列.存在正整数.当时.．解析:(Ⅰ)解:..,. ． (Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列为. 则为..... 从而．又. 所以 . 故． (Ⅲ)证明:设是每项均为非负整数的数列．当存在.使得时.交换数列的第项与第项得到数列. 则．当存在.使得时.若记数列为. 则．所以．从而对于任意给定的数列.由可知．又由(Ⅱ)可知.所以．即对于.要么有.要么有．因为是大于2的整数.所以经过有限步后.必有．即存在正整数.当时. 4.数列满足.().是常数． (Ⅰ)当时.求及的值, (Ⅱ)数列是否可能为等差数列?若可能.求出它的通项公式,若不可能.说明理由, (Ⅲ)求的取值范围.使得存在正整数.当时总有．解:(Ⅰ)由于.且．所以当时.得.故．从而． (Ⅱ)数列不可能为等差数列.证明如下:由. 得..．若存在.使为等差数列.则.即. 解得．于是.．这与为等差数列矛盾．所以.对任意.都不可能是等差数列． (Ⅲ)记.根据题意可知.且.即且.这时总存在.满足:当时., 当时.．所以由及可知.若为偶数. 则.从而当时.,若为奇数.则. 从而当时．因此“存在.当时总有的充分必要条件是:为偶数. 记.则满足．故的取值范围是． 5.已知函数. (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列.前n项和为Sn.其中a1=3.若点在函数y=f′(x)的图象上.求证:点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上, (Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值. 解:(Ⅰ)证明: 因为所以. 由点在函数的图象上, . 又所以.是的等差数列所以,又因为,所以, 故点也在函数的图象上. (Ⅱ)解:,令得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到,从而 ①当,此时无极小值, ②当的极小值为,此时无极大值, ③当既无极大值又无极小值. 6.设为实数.是方程的两个实根.数列满足..(-)． (1)证明:., (2)求数列的通项公式, (3)若..求的前项和． [解析](1)由求根公式.不妨设.得 . (2)设.则.由得. 消去.得.是方程的根.由题意可知. ①当时.此时方程组的解记为即.分别是公比为.的等比数列. 由等比数列性质可得,, 两式相减.得 .. . .即. ②当时.即方程有重根.. 即.得.不妨设.由①可知 .. 即.等式两边同时除以.得.即数列是以1为公差的等差数列., 综上所述. (3)把.代入.得.解得 7.设数列满足.. .数列满足是非零整数.且对任意的正整数和自然数.都有. (1)求数列和的通项公式, (2)记.求数列的前项和. [解析](1)由得又 . 数列是首项为1公比为的等比数列. . 由得 .由得 .- 同理可得当n为偶数时.,当n为奇数时.,因此 (2) 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(本小题满分12分)[来源:学§科§网]